file_get_contents でファイルの内容を取得して、DBに保存するだけ。

$mail_template = new MailTemplate();
$mail_template->template = file_get_contents($request->file('template'));
$mail_template->save();

日本語のファイル名を付けてダウンロードしたいときに、そのまま filename に日本語を指定すると、サーバー設定などによっては文字化けしてしまうが、RFC 6266 に準拠した書き方にすることで対処可能になる。

public function download(MailTemplate $mail_template)
{
    $filename = '日本語ファイル名.txt';

    $headers = [
        'Content-Type' => 'text/plain',
        'Content-Disposition' => 'attachment; filename*=UTF-8\'\'' . rawurlencode($filename),
    ];

    return response()->make($mail_template->template, 200, $headers);
}